三門問題公式大解密！ | 用公式破解三門問題 | 三門問題背後的數學

大家應該都聽過經典的「三門問題公式」，這個源自美國電視節目《Let’s Make a Deal》的機率難題，讓無數數學愛好者爭論不休。簡單來說，你面前有三道門，後面分別藏著兩隻山羊和一台車，當你選定一道門後，主持人會打開另一道有山羊的門，這時要不要換選擇？直覺告訴我們換不換機率一樣，但數學證明換門的中獎機率其實高達2/3！

先來看個實際情境：假設你參加節目選了1號門，主持人「必定」會打開一扇有山羊的門（比如3號門）。這時候如果車在2號門，換選擇就能贏車；如果車本來就在1號門，換了反而會輸。關鍵在於主持人「知道」門後情況且「必定」會排除錯誤選項，這讓機率產生了微妙的變化。

從表格可以清楚看到，三種可能情況中有兩種換門會中獎。很多人第一次聽到這個結論都會覺得「怎麼可能」，因為我們直覺上會認為剩下兩扇門機率應該各半。這其實牽涉到「條件機率」的概念，主持人提供的額外資訊改變了原本的機率分佈。

這種反直覺的特性讓三門問題成為機率學的經典教材，甚至引發過數學家之間的激烈辯論。有人用電腦模擬上百萬次實驗，結果都顯示換門策略確實有接近66.7%的勝率。下次如果朋友跟你爭論這個問題，不妨直接把這張表格秀給他看，保證比口頭解釋更有說服力！

三門問題到底是什麼？讓數學白痴也能秒懂

最近在網路上看到這個「三門問題」討論超熱烈，但一堆數學符號看得我頭好痛啊！今天就來用最簡單的方式，連我阿嬤都能懂的方法解釋給大家聽。

想像你參加一個遊戲節目，面前有三扇門：

主持人會先讓你選一扇門（假設選門1），然後他會打開另一扇後面是山羊的門（比如門3）。這時候問題來了：要不要換成門2？

直覺會覺得換不換都一樣對吧？反正剩下兩扇門，中獎機率都是50%。但其實啊，數學證明換門的中獎機率會從1/3提高到2/3！因為你一開始選錯的機率是2/3（兩扇山羊門），這時候主持人幫你排雷，換門就一定會中獎啦～

用實際例子來看更清楚：如果玩100次，一開始選中跑車的機率約33次，選中山羊的機率約67次。在選中山羊的情況下（67次），只要換門就會中獎，所以換門的中獎次數就是67次左右！

是不是突然覺得數學沒那麼可怕了？下次跟朋友聊到這個話題，就可以用這個超直白的解釋嚇嚇他們啦～（笑）

為什麼三門問題會讓人想破頭？專家來解惑，這個經典的機率謎題自從被提出來就讓無數人腦袋打結。明明看起來很簡單的選擇題，卻總是違反我們的直覺，今天就來好好拆解這個讓人又愛又恨的數學難題。

三門問題最早出現在美國的電視節目中，主持人會讓你從三扇門中選一扇，其中一扇後面是大獎，另外兩扇是山羊。當你選定後，主持人會打開一扇你沒選的門（一定是山羊），然後問你要不要換門。這時候該不該換呢？多數人直覺認為換不換機率都一樣，但其實換門的中獎機率會從1/3提升到2/3！這個反直覺的結果就是讓大家想破頭的原因。

讓我們用表格來比較兩種選擇的差異：

關鍵在於主持人一定會幫你過濾掉一個錯誤選項，這個動作其實提供了額外資訊。就像玩撲克牌時有人幫你丟掉一張爛牌，剩下的牌自然更有可能是好牌。很多數學系教授都做過實驗，用電腦模擬幾千次後發現，換門的中獎率確實接近66.7%，這跟理論計算完全吻合。

這個問題之所以讓人困惑，是因為我們習慣用靜態的方式思考機率，但實際上這是一個動態的過程。主持人的行為會改變整個機率分佈，就像玩21點時莊家翻開的牌會影響後續策略一樣。下次遇到類似情境時，記得要考慮所有參與者的行為對機率的影響，這樣才不會被直覺騙得團團轉。

三門問題的歷史起源 原來跟這個節目有關

大家應該都聽過「三門問題」這個經典的機率謎題吧？就是那個讓你選門後主持人會開一扇空門，問你要不要換選擇的燒腦問題。其實這個問題的歷史起源跟美國一個超紅的電視節目《Let’s Make a Deal》有關喔！這個節目從1963年開播，主持人Monty Hall最愛玩這種「選門換獎」的遊戲橋段，後來就被數學家們拿來當作研究機率的有趣案例。

說到這個節目有多經典，我們來看看當時的節目特色：

節目中最讓人糾結的就是當參賽者選定一扇門後，Monty Hall會故意打開另一扇空門，然後問：「你要堅持原來的選擇，還是要換另一扇門？」這個橋段後來被統計學家Steve Selvin在1975年正式提出討論，才讓「三門問題」在數學界爆紅。有趣的是，當時很多數學家第一次聽到這個問題時都直覺認為換不換機率一樣，後來才發現原來換選擇的中獎機率竟然高達2/3！

《Let’s Make a Deal》這個節目真的影響很深遠，它不僅是電視史上的經典，還意外創造出這個流傳半世紀的數學難題。每次看到有人在爭論三門問題時，就會想起當年節目中參賽者糾結要不要換選擇的有趣畫面。Monty Hall可能沒想到，他設計的遊戲橋段會成為數學課本裡的經典案例吧！